Concepts essentiels
Définition
Théorie néoclassique
Théorie dominante : explique les phénomènes économiques par les choix rationnels des individus. Mots-clés : individus, motivations, contraintes, maximisation. La société est absente — seul l'individu compte (individualisme méthodologique).
Hypothèses Arrow-Debreu
Le modèle de concurrence parfaite (version réelle)
- Commissaire-priseur : agent fictif qui annonce les prix, centralise O&D, interdit les échanges hors équilibre
- Price-takers : les agents croient psychologiquement n'avoir aucune influence sur les prix (conjectures concurrentielles)
- Biens datés et localisés : marchés pour tous les biens présents et futurs existent
- Centralisation : pas d'échanges bilatéraux directs
⚡ Paradoxe : la "concurrence" néoclassique est un système extrêmement centralisé — le commissaire-priseur contrôle tout.
Résultat central
Existence de l'équilibre général
Arrow & Debreu (1954) ont prouvé qu'il existe un vecteur de prix \((p_1^*, p_2^*, \ldots)\) tel que l'offre globale = demande globale pour chaque bien. C'est une existence, pas une unicité ou stabilité.
Comparaison
Arrow-Debreu vs version « intuitive »
| Critère | Arrow-Debreu | Version manuels |
|---|---|---|
| Price-takers | Disposition psychologique | Atomicité (grand nombre) |
| Information | Prix annoncés par le CP | « Transparence » (vague) |
| Libre entrée | Pas nécessaire | Supposée |
| Organisation | Centralisée | « Décentralisée » |
Questions guidées
Q1
Définir la théorie néoclassique
La théorie néoclassique explique les phénomènes économiques et sociaux à partir des choix rationnels des individus qui maximisent leur bien-être sous des contraintes (revenu, temps). C'est la traduction mathématique de l'individualisme méthodologique : chaque individu résout un problème de maximisation d'une fonction d'utilité sous contrainte budgétaire. Ce qui est absent : la société comme entité, les institutions, les rapports de pouvoir.
Q3
Rôle du commissaire-priseur
Le CP est un agent fictif (ne participe pas aux échanges). Ses fonctions :
① Annonce un prix par bien, connu de tous
② Centralise les offres et demandes individuelles
③ Si \(O \neq D\) : ajuste les prix (tâtonnement walrassien) : hausse si \(D > O\), baisse si \(O > D\)
④ Interdit tout échange tant que l'équilibre n'est pas atteint
Clé : le CP empêche les échanges hors équilibre et garantit un prix unique par bien.
① Annonce un prix par bien, connu de tous
② Centralise les offres et demandes individuelles
③ Si \(O \neq D\) : ajuste les prix (tâtonnement walrassien) : hausse si \(D > O\), baisse si \(O > D\)
④ Interdit tout échange tant que l'équilibre n'est pas atteint
Clé : le CP empêche les échanges hors équilibre et garantit un prix unique par bien.
QCM — Dossier 1
Score
— / —
Concepts fondamentaux
Concept 1
Courbes d'indifférence
Ensemble de paniers qui procurent la même utilité. Si le consommateur aime les deux biens : courbes décroissantes, convexes vers l'origine. Plus au nord-est = mieux.
Concept 2 — CENTRAL
Taux Marginal de Substitution (TMS)
Quantité de bien 2 qu'on accepte de sacrifier pour une unité de bien 1 supplémentaire, en restant sur la même courbe d'indifférence.
\[TMS = \frac{\partial U / \partial q_1}{\partial U / \partial q_2}\]
Pour une Cobb-Douglas \(U = q_1^\alpha q_2^\beta\) :
\[TMS = \frac{\alpha}{\beta} \cdot \frac{q_2}{q_1}\]
💡 À retenir absolument : pour une Cobb-Douglas, TMS = (α/β) × (q₂/q₁)
Concept 3
Dispositions à l'échange
Céder bien 2 pour obtenir bien 1 : \(\dfrac{p_1}{p_2} < TMS\)
Céder bien 1 pour obtenir bien 2 : \(\dfrac{p_1}{p_2} > TMS\)
Ne rien échanger : \(\dfrac{p_1}{p_2} = TMS\)
Céder bien 1 pour obtenir bien 2 : \(\dfrac{p_1}{p_2} > TMS\)
Ne rien échanger : \(\dfrac{p_1}{p_2} = TMS\)
Exercice 3 guidé — Agent A
Exercice 3 · Q5-Q7
\(U_A = q_1^{1/3} q_2\), dotations \((4,8)\)
Q5 — TMS en (q₁, q₂) quelconque puis en (4, 8)
Dériver U par rapport à q₁, puis q₂, faire le rapport. Utilise la formule TMS = (α/β)(q₂/q₁) avec α=1/3, β=1.
Dérivées partielles
\[\frac{\partial U_A}{\partial q_1} = \frac{1}{3}q_1^{-2/3}q_2 \qquad \frac{\partial U_A}{\partial q_2} = q_1^{1/3}\]TMS général
\[TMS_A = \frac{q_2/3q_1^{2/3} \cdot q_1^{-0}}{q_1^{1/3}} = \frac{q_2}{3q_1}\]En (4, 8)
\[TMS_A(4,8) = \frac{8}{3 \times 4} = \frac{8}{12} = \textcolor{#5ec8c8}{\frac{2}{3}}\]Q6 — Si p₁/p₂ = 3, que fait A ?
\[TMS_A(4,8) = \frac{2}{3} \quad \text{et} \quad \frac{p_1}{p_2} = 3\]
\[3 > \frac{2}{3} \Rightarrow \text{le bien 1 est "cher" sur le marché}\]
→ A cède du bien 1 pour acquérir du bien 2.
Si \(p_1/p_2 = 1/3 < 2/3 = TMS\) → le bien 1 est "pas cher" → A cède du bien 2 pour acquérir du bien 1.
Si \(p_1/p_2 = 1/3 < 2/3 = TMS\) → le bien 1 est "pas cher" → A cède du bien 2 pour acquérir du bien 1.
Q7 — Ensembles de prix
A cède bien 2 (acquiert bien 1) si : \(\dfrac{p_1}{p_2} < \dfrac{2}{3}\)
A cède bien 1 (acquiert bien 2) si : \(\dfrac{p_1}{p_2} > \dfrac{2}{3}\)
A n'échange pas si \(p_1/p_2 = 2/3\).
A cède bien 1 (acquiert bien 2) si : \(\dfrac{p_1}{p_2} > \dfrac{2}{3}\)
A n'échange pas si \(p_1/p_2 = 2/3\).
QCM — Dossier 2
Score
— / —
Concepts fondamentaux
Concept 1
Revenu de dotation
\[R = p_1 \omega_1 + p_2 \omega_2\]
La droite de budget passe toujours par le point de dotation initiale \((\omega_1, \omega_2)\).
Concept 2 — CENTRAL
Condition d'optimum
\[TMS = \frac{p_1}{p_2} \quad \text{et} \quad p_1 q_1 + p_2 q_2 = R\]
Méthode :
1
Écrire TMS = p₁/p₂ → relation entre q₁ et q₂
2
Substituer dans la contrainte budgétaire
3
Résoudre pour q₁* et q₂*
4
Si q* > ω : demande nette positive. Si q* < ω : offre nette = ω − q*
Règle clé — Cobb-Douglas
Partage fixe du revenu
\[p_1 q_1^* = \frac{\alpha}{\alpha+\beta} R \qquad p_2 q_2^* = \frac{\beta}{\alpha+\beta} R\]
Pour A (α=1/3, β=1) : fraction dépensée en bien 1 = 1/4, en bien 2 = 3/4
Exercice 1 guidé
Exercice 1 complet
Demandes de A avec \(p_1=3, p_2=1\)
Q1 — Revenu
\[R_A = 3 \times 4 + 1 \times 8 = 12 + 8 = \textcolor{#5ec8c8}{20}\]
Q3 — Offres et demandes à p₁=3, p₂=1
Étape 1 : TMS = q₂/(3q₁) = 3. Étape 2 : substituer dans 3q₁ + q₂ = 20.
Condition
\[TMS_A = \frac{q_2}{3q_1} = \frac{p_1}{p_2} = 3 \Rightarrow q_2 = 9q_1\]Budget
\[3q_1 + 9q_1 = 20 \Rightarrow q_1^* = \frac{5}{3}, \quad q_2^* = 15\]Offres/Demandes
\(q_1^* = 5/3 < \omega_1 = 4\) → Offre de bien 1 : \(o_1^A = 4 - 5/3 = 7/3\)\(q_2^* = 15 > \omega_2 = 8\) → Demande nette de bien 2 : \(15 - 8 = 7\)
Q4 — Fonctions générales \(d_1^A = 1 + 2p_2/p_1\)
R = 4p₁ + 8p₂. Règle de partage : p₁q₁* = R/4. Donc q₁* = R/(4p₁).
Revenu général
\[R = 4p_1 + 8p_2\]Règle de partage (α=1/3, β=1)
\[p_1 q_1^* = \frac{1/3}{1/3+1} R = \frac{1}{4}(4p_1+8p_2) = p_1 + 2p_2\]
\[\Rightarrow q_1^* = 1 + \frac{2p_2}{p_1} = d_1^A \checkmark\]
\[p_2 q_2^* = \frac{3}{4}(4p_1+8p_2) = 3p_1 + 6p_2\]
\[\Rightarrow q_2^* = \frac{3p_1}{p_2} + 6 = d_2^A \checkmark\]
QCM — Dossier 3
Score
— / —
Concepts fondamentaux
Concept 1
Demande nette globale
\[e_1(p_1,p_2) = (d_1^A - \omega_1^A) + (d_1^C - \omega_1^C)\]
Équilibre : \(e_1(p_1^*, p_2^*) = 0\) pour chaque bien.
Loi de Walras
Identité fondamentale
\[p_1 \cdot e_1(p_1,p_2) + p_2 \cdot e_2(p_1,p_2) = 0 \quad \forall (p_1,p_2)\]
💡 Si \(e_1 = 0\), alors automatiquement \(e_2 = 0\). On peut ignorer un marché !
Concept 3
Numéraire et prix relatifs
Fixer \(p_2 = 1\) (numéraire) et chercher \(p_1^*\) tel que \(e_1(p_1,1) = 0\). L'équilibre en termes d'allocation est inchangé.
Exercice 1 guidé — Économie A & C
Exercice complet
Prix d'équilibre et allocation
Q4 — Demande nette globale de bien 1
Agent C : α=1, β=1/3. TMS_C = (1/β)(q₂/q₁) = 3q₂/q₁. Règle de partage : fraction bien 1 = α/(α+β) = 3/4.
Agent A : \(e_1^A = d_1^A - 4\)
\[e_1^A = 1 + \frac{2p_2}{p_1} - 4 = -3 + \frac{2p_2}{p_1}\]Agent C (α=1, β=1/3, dotations (3,4))
\[R_C = 3p_1 + 4p_2 \quad;\quad p_1 q_1^{C*} = \frac{3}{4}R_C\]
\[q_1^{C*} = \frac{9}{4} + \frac{3p_2}{p_1} \quad;\quad e_1^C = q_1^{C*} - 3 = -\frac{3}{4} + \frac{3p_2}{p_1}\]
Demande nette globale
\[e_1 = e_1^A + e_1^C = \left(-3 + \frac{2p_2}{p_1}\right) + \left(-\frac{3}{4} + \frac{3p_2}{p_1}\right) = \textcolor{#5ec8c8}{-\frac{15}{4} + \frac{5p_2}{p_1}} \checkmark\]
Q9 — Prix d'équilibre (p₂ = 1)
\[e_1 = 0 \Rightarrow -\frac{15}{4} + \frac{5}{p_1} = 0 \Rightarrow p_1 = \frac{5 \times 4}{15} = \textcolor{#5ec8c8}{\frac{4}{3}}\]
Q11 — Allocation d'équilibre de A
Avec \(p_1^* = 4/3\), \(p_2 = 1\) :
\[q_1^{A*} = 1 + \frac{2 \times 1}{4/3} = 1 + \frac{3}{2} = \textcolor{#5ec8c8}{\frac{5}{2}}\]
\[q_2^{A*} = 6 + \frac{3 \times 4/3}{1} = 6 + 4 = \textcolor{#5ec8c8}{10}\]
QCM — Dossier 4
Score
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Concepts fondamentaux
Concept 1
Rendements d'échelle
\[f(\lambda q_1, \lambda q_2) = \lambda^{\alpha+\beta} f(q_1,q_2)\]
- \(\alpha+\beta > 1\) : croissants
- \(\alpha+\beta = 1\) : constants
- \(\alpha+\beta < 1\) : décroissants
Concept 2
TMST et condition d'optimum
\[TMST = \frac{Pm_1}{Pm_2} = \frac{\alpha}{\beta}\cdot\frac{q_2}{q_1}\]
Condition d'optimum : \(\quad TMST = \dfrac{p_1}{p_2}\)
⚡ Même structure que le consommateur : TMS/TMST = prix relatifs.
Concept 3
Sentier d'expansion
Résoudre TMST = p₁/p₂ sans contrainte → relation linéaire entre q₁ et q₂ :
\[q_2 = \frac{\beta p_1}{\alpha p_2} q_1\]
Exercice 1 guidé
Exercice 1 complet
\(f = 4q_1^{1/2}q_2^{1/4}\), \(p_1=p_2=p=1\)
Q2 — Rendements d'échelle et Pm
\[\alpha + \beta = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4} < 1 \Rightarrow \textcolor{#5ec8c8}{\text{Rendements décroissants}}\]
\[Pm_1 = \frac{2q_2^{1/4}}{q_1^{1/2}} \quad (\text{décroissante en } q_1 \checkmark) \qquad Pm_2 = \frac{q_1^{1/2}}{q_2^{3/4}} \quad (\text{décroissante en } q_2 \checkmark)\]
Q3 — TMST
\[TMST = \frac{Pm_1}{Pm_2} = \frac{\alpha/\beta \cdot q_2/q_1}{1} = \frac{(1/2)}{(1/4)} \cdot \frac{q_2}{q_1} = \textcolor{#5ec8c8}{\frac{2q_2}{q_1}}\]
Q6 — Sentier d'expansion
\[TMST = \frac{p_1}{p_2} \Rightarrow \frac{2q_2}{q_1} = 1 \Rightarrow \textcolor{#5ec8c8}{q_2 = \frac{q_1}{2}}\]
Q7 — Optimum : q₁*=8, q₂*=4, output=16
Condition VPm₁ = p₁ : p × Pm₁ = 1. Substitue q₂ = q₁/2 dans Pm₁ = 1.
VPm₁ = p₁
\[1 \cdot \frac{2q_2^{1/4}}{q_1^{1/2}} = 1 \Rightarrow 2q_2^{1/4} = q_1^{1/2}\]Avec q₂ = q₁/2
\[2\left(\frac{q_1}{2}\right)^{1/4} = q_1^{1/2} \Rightarrow 2 \cdot \frac{q_1^{1/4}}{2^{1/4}} = q_1^{1/2} \Rightarrow 2^{3/4} = q_1^{1/4} \Rightarrow q_1^* = 2^3 = \textcolor{#5ec8c8}{8}\]
\[q_2^* = 8/2 = \textcolor{#5ec8c8}{4} \qquad f(8,4) = 4\cdot 8^{1/2}\cdot 4^{1/4} = 4 \cdot 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = \textcolor{#5ec8c8}{16}\]
QCM — Dossier 5
Score
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Concepts — Équilibre général avec production
Nouveauté
Structure de l'économie avec production
- Il y a maintenant un producteur qui transforme un input (le travail \(L\)) en output (un bien \(q\))
- Un consommateur-salarié dispose de temps \(T\), d'une dotation en bien \(q_0\), et choisit son arbitrage loisir/travail
- Le profit du producteur est redistribué au consommateur
Condition d'équilibre
Égalité offre/demande sur chaque marché
- Marché du travail : demande de travail du producteur = offre de travail du consommateur
- Marché du bien : offre du producteur + dotation initiale = demande du consommateur
- Équilibre autarcique : si le producteur ne produit rien (profit max = 0)
- Équilibre avec production : le producteur produit et le consommateur travaille
Profit du producteur
Maximisation du profit
\[\pi = p \cdot f(L) - w \cdot L\]
Condition d'optimalité : \(p \cdot f'(L) = w\) soit \(p \cdot Pm_L = w\)
Le salaire réel d'équilibre : \(\dfrac{w}{p} = f'(L^*)\)
Exercice Dossier 6 guidé
Exercice complet
\(f(L) = 2\sqrt{L}\), consommateur \(u(\ell,q) = \ell q^3\)
A3 — Coût unitaire de production
Produire \(q\) unités : \(q = 2\sqrt{L} \Rightarrow L = q^2/4\)
Coût total : \(C(q) = w \cdot L = w \cdot q^2/4\)
Coût unitaire (coût pour 1 unité, i.e. \(q=1\)) : \(\textcolor{#5ec8c8}{w/4}\)
ou selon la formule du TD : coût d'une unité = w/2 si on cherche le coût marginal à q=1
ou selon la formule du TD : coût d'une unité = w/2 si on cherche le coût marginal à q=1
A4 — Offre d'output et demande de travail
Condition : p × f'(L) = w. f'(L) = 1/√L. Résoudre pour L. Puis q* = 2√L*.
Condition VPm = w
\[p \cdot f'(L) = w \Rightarrow p \cdot \frac{1}{\sqrt{L}} = w \Rightarrow \sqrt{L} = \frac{p}{w} \Rightarrow L^* = \frac{p^2}{w^2}\]Offre d'output
\[q^* = 2\sqrt{L^*} = 2 \cdot \frac{p}{w} = \textcolor{#5ec8c8}{\frac{2p}{w}}\]Profit
\[\pi = p \cdot \frac{2p}{w} - w \cdot \frac{p^2}{w^2} = \frac{2p^2}{w} - \frac{p^2}{w} = \textcolor{#5ec8c8}{\frac{p^2}{w}}\]B3 — Équilibre avec production
Du dossier 3, exercice 4 : demande de bien \(q^{**} = 6w/p + 3\), offre de travail \(L^{**} = 6 - p/w\).
Équilibre marché du travail
\[L^d = L^s \Rightarrow \frac{p^2}{w^2} = 6 - \frac{p}{w}\]
Posons \(x = p/w\) : \[x^2 = 6 - x \Rightarrow x^2 + x - 6 = 0 \Rightarrow (x+3)(x-2) = 0 \Rightarrow x = 2\]
\[\textcolor{#5ec8c8}{\frac{w}{p} = \frac{1}{2}} \text{ (salaire réel)}\]Quantités à l'équilibre
\[L^* = (p/w)^2 = 4 \qquad q^* = 2 \times (p/w) = 4\]
QCM — Dossier 6
Score
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Concepts — Optimalité et justice
Concept 1
Optimum de Pareto
Une allocation est un optimum de Pareto s'il n'existe pas d'autre allocation réalisable qui améliore la situation d'au moins un agent sans détériorer celle d'un autre.
💡 Condition : à l'optimum, tous les TMS sont égaux entre eux : \(TMS^A = TMS^C\)
Concept 2
Courbe des contrats
Ensemble de tous les optima de Pareto d'une économie d'échange. On l'obtient en résolvant :
\[TMS^A(q_1^A, q_2^A) = TMS^C(q_1^C, q_2^C)\]
avec les contraintes de ressources : \(q_1^A + q_1^C = \omega_1^A + \omega_1^C\) et idem pour le bien 2.
Concept 3
Premier théorème du bien-être
Tout équilibre de concurrence parfaite est un optimum de Pareto. L'allocation d'équilibre est donc sur la courbe des contrats.
⚡ Mais : il existe une infinité d'optima de Pareto. Parmi eux, certains sont très inégaux (tous les biens à un seul agent). L'optimalité ne garantit pas la justice !
Concept 4
Diagramme d'Edgeworth
- Rectangle dont la largeur = \(\omega_1^A + \omega_1^C\) et la hauteur = \(\omega_2^A + \omega_2^C\)
- Agent A : origine en bas à gauche, courbes d'indifférence normales
- Agent C : origine en haut à droite (graphique retourné)
- La courbe des contrats = lieu des tangences entre courbes d'indifférence de A et C
Exercice 1 Dossier 7 guidé
Exercice 1
Courbe des contrats — agents A et C
Q1 — Équation de la courbe des contrats
Ressources totales : 7 unités bien 1, 12 unités bien 2.
\(TMS_A = q_2^A/(3q_1^A)\), \(TMS_C = 3q_2^C/q_1^C\)
\(TMS_A = q_2^A/(3q_1^A)\), \(TMS_C = 3q_2^C/q_1^C\)
Poser TMS_A = TMS_C. Utiliser q₁^C = 7 - q₁^A et q₂^C = 12 - q₂^A. Résoudre en q₂^A en fonction de q₁^A.
Condition TMS_A = TMS_C
\[\frac{q_2^A}{3q_1^A} = \frac{3q_2^C}{q_1^C} = \frac{3(12-q_2^A)}{7-q_1^A}\]
Développer
\[q_2^A(7-q_1^A) = 9q_1^A(12-q_2^A)\]
\[7q_2^A - q_1^Aq_2^A = 108q_1^A - 9q_1^Aq_2^A\]
\[7q_2^A + 8q_1^Aq_2^A = 108q_1^A\]
\[\textcolor{#5ec8c8}{q_2^A = \frac{108q_1^A}{7 + 8q_1^A}}\]
Vérification en (5/2, 10)
\[\frac{108 \times 5/2}{7 + 8 \times 5/2} = \frac{270}{7+20} = \frac{270}{27} = 10 \checkmark\]
Q2 — La dotation initiale est-elle un optimum de Pareto ?
En A=(4,8) : \(TMS_A(4,8) = 8/(3 \times 4) = 2/3\)
En C=(3,4) : \(TMS_C(3,4) = 3 \times 4/3 = 4\)
\(TMS_A = 2/3 \neq 4 = TMS_C\) → NON, ce n'est pas un optimum de Pareto.
Il existe des échanges mutuellement avantageux possibles (entre p₁/p₂ = 2/3 et 4).
Il existe des échanges mutuellement avantageux possibles (entre p₁/p₂ = 2/3 et 4).
L'équilibre CP en revanche
L'allocation (5/2, 10) pour A et (9/2, 2) pour C est sur la courbe des contrats ✓ — c'est le Premier théorème du bien-être.QCM — Dossier 7
Score
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🎓 Support complet — Exemple fil rouge résolu
Comment utiliser ce support
Un exemple complet et commenté pour chaque type d'exercice. Lis-le avant de faire les exercices — il te donne le schéma de raisonnement à reproduire systématiquement.
Exemple 1 — Calculer le TMS et les dispositions à l'échange
Dossiers 2 · Exercice de base · Niveau fondamental
Énoncé
Soit \(U_B(q_1,q_2) = q_1 \cdot q_2^3\) avec des dotations initiales \((\omega_1, \omega_2) = (2, 6)\).
① Calculer le TMS en un point quelconque et aux dotations initiales.
② Quelles sont les dispositions à l'échange si \(p_1/p_2 = 10\) ?
① Calculer le TMS en un point quelconque et aux dotations initiales.
② Quelles sont les dispositions à l'échange si \(p_1/p_2 = 10\) ?
Étape 1 — Identifier α et β
On lit directement dans \(U = q_1^\alpha q_2^\beta\) :
\[\alpha = 1, \quad \beta = 3\]
La formule du TMS pour une Cobb-Douglas est directement :
\[TMS = \frac{\alpha}{\beta} \cdot \frac{q_2}{q_1} = \frac{1}{3} \cdot \frac{q_2}{q_1}\]
Étape 2 — Vérification par les dérivées partielles
\[\frac{\partial U_B}{\partial q_1} = q_2^3 \qquad \frac{\partial U_B}{\partial q_2} = 3q_1 q_2^2\]
\[TMS = \frac{q_2^3}{3q_1 q_2^2} = \frac{q_2}{3q_1} \quad \checkmark\]
Étape 3 — TMS aux dotations initiales (2, 6)
\[TMS_B(2,6) = \frac{6}{3 \times 2} = \frac{6}{6} = \textcolor{#5ec8c8}{1}\]
Interprétation : à ses dotations, B est prêt à échanger 1 unité de bien 1 contre 1 unité de bien 2.
Étape 4 — Dispositions à l'échange si p₁/p₂ = 10
On compare \(p_1/p_2 = 10\) au \(TMS = 1\) :
→ Le bien 1 est sur-valorisé par le marché → B a intérêt à VENDRE du bien 1 et ACHETER du bien 2.
Règle mnémotechnique :
\[\frac{p_1}{p_2} = 10 > 1 = TMS_B\]
Le bien 1 vaut 10 unités de bien 2 sur le marché, mais B ne lui en accorde subjectivement que 1.→ Le bien 1 est sur-valorisé par le marché → B a intérêt à VENDRE du bien 1 et ACHETER du bien 2.
Règle mnémotechnique :
\(p_1/p_2 > TMS\) → céder bien 1, acquérir bien 2
\(p_1/p_2 < TMS\) → céder bien 2, acquérir bien 1
\(p_1/p_2 = TMS\) → pas d'échange souhaité
\(p_1/p_2 < TMS\) → céder bien 2, acquérir bien 1
\(p_1/p_2 = TMS\) → pas d'échange souhaité
Exemple 2 — Choix optimal du consommateur (Dossier 3)
Méthode systématique · 4 étapes · Toujours la même structure
Énoncé
Agent B : \(U_B = q_1 \cdot q_2^3\), dotations \((2,6)\). Prix \(p_1 = 2, p_2 = 1\).
Trouver \(q_1^*, q_2^*\) et les offres/demandes nettes.
Trouver \(q_1^*, q_2^*\) et les offres/demandes nettes.
Étape 1 — Revenu de dotation
\[R = p_1\omega_1 + p_2\omega_2 = 2 \times 2 + 1 \times 6 = 4 + 6 = 10\]
Étape 2 — Condition d'optimum TMS = p₁/p₂
\[TMS_B = \frac{q_2}{3q_1} = \frac{p_1}{p_2} = \frac{2}{1} = 2\]
\[\Rightarrow q_2 = 6q_1 \quad \text{(relation entre les deux biens à l'optimum)}\]
Étape 3 — Substituer dans la contrainte budgétaire
\[p_1 q_1 + p_2 q_2 = R \Rightarrow 2q_1 + 1 \times 6q_1 = 10 \Rightarrow 8q_1 = 10 \Rightarrow \textcolor{#5ec8c8}{q_1^* = \frac{5}{4}}\]
\[\textcolor{#5ec8c8}{q_2^* = 6 \times \frac{5}{4} = \frac{15}{2}}\]
Vérification : \(2 \times 5/4 + 1 \times 15/2 = 5/2 + 15/2 = 10 = R \checkmark\)
Étape 4 — Offres et demandes nettes
Bien 1 : \(q_1^* = 5/4 < \omega_1 = 2\) → B est OFFREUR net de bien 1 : offre = \(2 - 5/4 = 3/4\)
Bien 2 : \(q_2^* = 15/2 > \omega_2 = 6\) → B est DEMANDEUR net de bien 2 : demande nette = \(15/2 - 6 = 3/2\)
Vérification loi de Walras :
Bien 2 : \(q_2^* = 15/2 > \omega_2 = 6\) → B est DEMANDEUR net de bien 2 : demande nette = \(15/2 - 6 = 3/2\)
Vérification loi de Walras :
\[p_1 \times (q_1^*-\omega_1) + p_2 \times (q_2^*-\omega_2) = 2 \times (-3/4) + 1 \times (3/2) = -3/2 + 3/2 = 0 \checkmark\]
Raccourci — Règle de partage Cobb-Douglas
Pour \(\alpha=1, \beta=3\) : fraction de R dépensée en bien 1 = \(\dfrac{1}{1+3} = \dfrac{1}{4}\)
\[p_1 q_1^* = \frac{1}{4} R = \frac{10}{4} \Rightarrow q_1^* = \frac{10}{4 \times 2} = \frac{5}{4} \checkmark\]
\[p_2 q_2^* = \frac{3}{4} R = \frac{30}{4} \Rightarrow q_2^* = \frac{30}{4} = \frac{15}{2} \checkmark\]
Ce raccourci est plus rapide pour les Cobb-Douglas !
Exemple 3 — Trouver le prix d'équilibre général (Dossier 4)
Économie à deux agents · Loi de Walras · Prix relatif
Énoncé simplifié
Économie : agents A (α=1/3, β=1, dotations (4,8)) et C (α=1, β=1/3, dotations (3,4)).
Fixer p₂=1. Trouver p₁* et l'allocation d'équilibre.
Fixer p₂=1. Trouver p₁* et l'allocation d'équilibre.
Étape 1 — Fonctions de demande de chaque agent
Agent A (α=1/3, β=1, fraction en bien 1 = 1/4) :
\[d_1^A = \frac{1}{4p_1}(4p_1 + 8) = 1 + \frac{2}{p_1}\]
Agent C (α=1, β=1/3, fraction en bien 1 = 3/4) :\[d_1^C = \frac{3}{4p_1}(3p_1 + 4) = \frac{9}{4} + \frac{3}{p_1}\]
Étape 2 — Demande nette globale
\[e_1 = (d_1^A - 4) + (d_1^C - 3) = \left(-3 + \frac{2}{p_1}\right) + \left(-\frac{3}{4} + \frac{3}{p_1}\right) = -\frac{15}{4} + \frac{5}{p_1}\]
Étape 3 — Poser e₁ = 0 et résoudre
\[-\frac{15}{4} + \frac{5}{p_1} = 0 \Rightarrow p_1 = \frac{5 \times 4}{15} = \textcolor{#5ec8c8}{\frac{4}{3}}\]
Étape 4 — Calculer l'allocation d'équilibre
\[q_1^{A*} = 1 + \frac{2}{4/3} = 1 + \frac{3}{2} = \textcolor{#5ec8c8}{\frac{5}{2}}\]
\[q_2^{A*} = 6 + \frac{3 \times 4/3}{1} = 6 + 4 = \textcolor{#5ec8c8}{10}\]
\[q_1^{C*} = 7 - 5/2 = \frac{9}{2} \qquad q_2^{C*} = 12 - 10 = 2\]
Vérification : \(5/2 + 9/2 = 7 = \omega_1^A + \omega_1^C \checkmark\) et \(10 + 2 = 12 \checkmark\)
Exemple 4 — Choix optimal du producteur (Dossier 5)
TMST · Sentier d'expansion · Maximisation du profit
Énoncé
\(f(q_1,q_2) = q_1^{1/2} q_2^{1/2}\), \(p_1 = 1, p_2 = 4, p = 10\).
Trouver les demandes d'inputs optimales et l'offre d'output.
Trouver les demandes d'inputs optimales et l'offre d'output.
Étape 1 — TMST
\[TMST = \frac{\alpha}{\beta} \cdot \frac{q_2}{q_1} = \frac{1/2}{1/2} \cdot \frac{q_2}{q_1} = \frac{q_2}{q_1}\]
Étape 2 — Sentier d'expansion (TMST = p₁/p₂)
\[\frac{q_2}{q_1} = \frac{1}{4} \Rightarrow q_2 = \frac{q_1}{4}\]
Étape 3 — Condition VPm₁ = p₁
\[p \cdot \frac{\partial f}{\partial q_1} = p_1 \Rightarrow 10 \cdot \frac{1}{2} q_1^{-1/2} q_2^{1/2} = 1 \Rightarrow 5\sqrt{\frac{q_2}{q_1}} = 1\]
Substituer \(q_2 = q_1/4\) :
\[5\sqrt{\frac{q_1/4}{q_1}} = 5 \cdot \frac{1}{2} = \frac{5}{2} \neq 1\]
→ On utilise directement les deux conditions VPm₁ = p₁ et VPm₂ = p₂ :
\[\frac{VPm_1}{VPm_2} = \frac{p_1}{p_2} \Rightarrow TMST = \frac{p_1}{p_2} \quad \text{(déjà fait)}\]
\[p \cdot Pm_1 = p_1 : \quad 10 \cdot \frac{q_2^{1/2}}{2q_1^{1/2}} = 1 \Rightarrow \frac{q_2^{1/2}}{q_1^{1/2}} = \frac{1}{5}\]
Avec \(q_2 = q_1/4\) : \(\frac{1}{2} = \frac{1}{5}\)... contradiction → avec rendements constants (α+β=1), il peut y avoir des solutions particulières. Voir exercice 4 du dossier 5 pour la méthode par la fonction de coût.
Méthode alternative — Fonction de coût (Exercice 3 et 4 du Dossier 5)
1. Trouver le coût minimum pour produire q unités :
Condition : TMST = p₁/p₂ → \(q_2/q_1 = p_1/p_2\)
+ isoquante : \(f(q_1,q_2) = q\)
Pour \(f = q_1^{1/2}q_2^{1/2}\) et \(p_1=1, p_2=4\) :
\[q_2 = q_1/4 \quad \text{et} \quad q_1^{1/2}(q_1/4)^{1/2} = q \Rightarrow q_1^{1/2} \cdot \frac{q_1^{1/2}}{2} = q \Rightarrow q_1 = 2q\] \[q_2 = q/2 \quad;\quad C(q) = 1 \cdot 2q + 4 \cdot q/2 = 2q + 2q = 4q\]
2. Offre optimale :
+ isoquante : \(f(q_1,q_2) = q\)
Pour \(f = q_1^{1/2}q_2^{1/2}\) et \(p_1=1, p_2=4\) :
\[q_2 = q_1/4 \quad \text{et} \quad q_1^{1/2}(q_1/4)^{1/2} = q \Rightarrow q_1^{1/2} \cdot \frac{q_1^{1/2}}{2} = q \Rightarrow q_1 = 2q\] \[q_2 = q/2 \quad;\quad C(q) = 1 \cdot 2q + 4 \cdot q/2 = 2q + 2q = 4q\]
\[\pi = pq - C(q) = 10q - 4q = 6q \quad \text{(croissant : rendements constants} \Rightarrow \text{offre infinie !!})\]
⚠️ Avec rendements constants, si p > coût unitaire → profit illimité → pas de maximum intérieur. C'est pour ça que le dossier utilise des fonctions avec rendements décroissants (α+β < 1) pour avoir un optimum fini.
Exemple 5 — Courbe des contrats et optimum de Pareto (Dossier 7)
Condition TMS_A = TMS_C · Diagramme d'Edgeworth
Logique générale
Un point de l'économie est un optimum de Pareto si et seulement si les TMS des deux agents sont égaux. Sinon, il existe des échanges mutuellement avantageux.
\[\text{Optimum de Pareto} \Leftrightarrow TMS^A = TMS^C\]
Méthode pour trouver la courbe des contrats
1
Écrire \(TMS^A(q_1^A, q_2^A) = TMS^C(q_1^C, q_2^C)\)
2
Substituer \(q_1^C = W_1 - q_1^A\) et \(q_2^C = W_2 - q_2^A\) (où \(W_i\) = ressources totales)
3
Résoudre l'équation en \(q_2^A\) en fonction de \(q_1^A\) → c'est l'équation de la courbe des contrats
Vérifier si un point est sur la courbe des contrats
Pour l'allocation d'équilibre A=(5/2, 10) et C=(9/2, 2) :
Et remarque : \(p_1^*/p_2 = (4/3)/1 = 4/3 = TMS\) → le prix relatif d'équilibre = TMS commun ✓
\[TMS^A(5/2, 10) = \frac{10}{3 \times 5/2} = \frac{10}{15/2} = \frac{4}{3}\]
\[TMS^C(9/2, 2) = \frac{3 \times 2}{9/2} = \frac{6}{9/2} = \frac{4}{3}\]
\(TMS^A = TMS^C = 4/3 \checkmark\) → l'allocation d'équilibre est bien sur la courbe des contrats (1er théorème du bien-être).Et remarque : \(p_1^*/p_2 = (4/3)/1 = 4/3 = TMS\) → le prix relatif d'équilibre = TMS commun ✓