Ce qu'il faut savoir — Dossier 1
Définition fondamentale
La théorie néoclassique
Explique les phénomènes économiques à partir des choix rationnels des individus. Chaque individu maximise son utilité sous des contraintes (revenu, temps). La société est absente — seul l'individu compte.
Le modèle Arrow-Debreu — 5 hypothèses clés
- 1 Commissaire-priseur (CP) : agent fictif qui annonce les prix, centralise O&D, interdit les échanges hors équilibre
- 2 Price-takers : les agents croient psychologiquement n'avoir aucune influence sur les prix (conjectures concurrentielles)
- 3 Biens datés et localisés : marchés pour tous les biens présents ET futurs
- 4 Centralisation : pas d'échanges bilatéraux directs entre agents
- 5 Tâtonnement walrassien : si D > O → CP hausse le prix ; si O > D → CP baisse le prix
! Paradoxe : la "concurrence" Arrow-Debreu est un système extrêmement centralisé — le CP contrôle tout !
Résultat Arrow-Debreu (1954)
Il existe un équilibre général
Il existe un vecteur de prix \((p_1^*, p_2^*)\) tel que l'offre globale = demande globale pour chaque bien. C'est une existence, pas une unicité ni une stabilité.
Comparaison — À retenir pour le contrôle
| Critère | Arrow-Debreu | Version "intuitive" (manuels) |
|---|---|---|
| Price-takers | Disposition psychologique | Atomicité (grand nombre) |
| Libre entrée | Pas nécessaire | Supposée |
| Organisation | Centralisée (CP) | "Décentralisée" |
| Info nécessaire | Prix annoncés par le CP | "Transparence" (vague) |
Exercices — Dossier 1
Ce qu'il faut savoir — Dossier 2
Formule CENTRALE — à connaître par cœur
TMS pour une Cobb-Douglas \(U = q_1^\alpha q_2^\beta\)
\[TMS = \frac{\alpha}{\beta} \cdot \frac{q_2}{q_1}\]
Méthode : dériver U par rapport à q₁, puis q₂, faire le rapport :
\[TMS = \frac{\partial U/\partial q_1}{\partial U/\partial q_2} = \frac{\alpha q_1^{\alpha-1}q_2^\beta}{\beta q_1^\alpha q_2^{\beta-1}} = \frac{\alpha}{\beta}\cdot\frac{q_2}{q_1}\]
ℹ Exemple : \(U = q_1^{1/3}q_2\) → α=1/3, β=1 → \(TMS = \dfrac{1/3}{1}\cdot\dfrac{q_2}{q_1} = \dfrac{q_2}{3q_1}\)
Dispositions à l'échange — Règle clé
\(p_1/p_2 > TMS\) → bien 1 est "cher" → céder bien 1, acquérir bien 2
\(p_1/p_2 < TMS\) → bien 1 est "pas cher" → céder bien 2, acquérir bien 1
\(p_1/p_2 = TMS\) → pas d'échange
\(p_1/p_2 < TMS\) → bien 1 est "pas cher" → céder bien 2, acquérir bien 1
\(p_1/p_2 = TMS\) → pas d'échange
Logique : Si le marché valorise mieux le bien 1 que moi (p₁/p₂ > TMS), j'ai intérêt à le vendre.
Valeurs importantes pour les exercices
| U | α | β | TMS général | TMS en (4,8) |
|---|---|---|---|---|
| \(q_1^{1/3}q_2\) | 1/3 | 1 | \(q_2/(3q_1)\) | 2/3 |
| \(q_1 q_2^3\) | 1 | 3 | \(q_2/(3q_1)\) | 2/3 |
| \(q_1 q_2^{1/3}\) | 1 | 1/3 | \(3q_2/q_1\) | 6 |
| \(q_1^{1/2}q_2\) | 1/2 | 1 | \(q_2/(2q_1)\) | 1 |
Exercices — Dossier 2
Ce qu'il faut savoir — Dossier 3
Revenu de dotation
\[R = p_1 \omega_1 + p_2 \omega_2\]
La droite de budget passe toujours par le point de dotation \((\omega_1, \omega_2)\).
Condition d'optimum — 2 équations, 2 inconnues
\[\text{(1) }TMS = \frac{p_1}{p_2} \quad \Longrightarrow \quad \text{relation entre }q_1\text{ et }q_2\]
\[\text{(2) }p_1 q_1 + p_2 q_2 = R \quad \Longrightarrow \quad \text{substituer (1) dans (2)}\]
1
Écrire TMS = p₁/p₂ → exprimer q₂ en fonction de q₁
2
Substituer dans la contrainte budgétaire → trouver q₁*
3
Déduire q₂* puis comparer à ω₁, ω₂
4
Si q* > ω → demandeur net. Si q* < ω → offreur net
Raccourci Cobb-Douglas — le plus rapide
\[p_1 q_1^* = \frac{\alpha}{\alpha+\beta} R \qquad p_2 q_2^* = \frac{\beta}{\alpha+\beta} R\]
Pour agent A (α=1/3, β=1) : fraction bien 1 = (1/3)/(4/3) = 1/4, fraction bien 2 = 3/4
Exemple complet — Agent A avec p₁=3, p₂=1
Dotations (4,8), \(U_A = q_1^{1/3}q_2\)
R = 3×4 + 1×8 = 20
p₁q₁* = R/4 = 5 → q₁* = 5/3 < ω₁=4 → OFFREUR bien 1 (offre = 7/3)
p₂q₂* = 3R/4 = 15 → q₂* = 15 > ω₂=8 → DEMANDEUR bien 2 (demande nette = 7)
p₂q₂* = 3R/4 = 15 → q₂* = 15 > ω₂=8 → DEMANDEUR bien 2 (demande nette = 7)
Exercices — Dossier 3
Ce qu'il faut savoir — Dossier 4
Demande nette et équilibre
\[e_i^k = d_i^k - \omega_i^k \quad \text{(demande nette de l'agent k pour le bien i)}\]
\[\text{Équilibre : } e_1(p_1^*, p_2^*) = e_1^A + e_1^C = 0\]
Loi de Walras — Résultat clé
\[p_1 \cdot e_1(p_1,p_2) + p_2 \cdot e_2(p_1,p_2) = 0 \quad \forall (p_1, p_2)\]
ℹ Conséquence pratique : si e₁ = 0, alors automatiquement e₂ = 0. On peut ignorer un marché !
Méthode — Trouver le prix d'équilibre
1
Calculer les demandes nettes de chaque agent : \(e_1^k = d_1^k - \omega_1^k\)
2
Additionner : \(e_1 = e_1^A + e_1^C\)
3
Fixer p₂=1 (numéraire) et poser e₁=0
4
Résoudre pour p₁*
5
Calculer l'allocation : substituer p₁* dans les demandes
Résultat pour l'économie A & C
\[e_1 = -\frac{15}{4} + \frac{5p_2}{p_1} = 0 \Rightarrow p_1^* = \frac{4}{3}, \; p_2=1\]
\[q_1^{A*} = \frac{5}{2}, \; q_2^{A*} = 10 \quad;\quad q_1^{C*} = \frac{9}{2}, \; q_2^{C*} = 2\]
Exercices — Dossier 4
Ce qu'il faut savoir — Dossier 5
Rendements d'échelle
\[f(\lambda q_1, \lambda q_2) = \lambda^{\alpha+\beta} f(q_1,q_2)\]
- \(\alpha+\beta > 1\) → Croissants
- \(\alpha+\beta = 1\) → Constants
- \(\alpha+\beta < 1\) → Décroissants
TMST — Analogue du TMS pour le producteur
\[TMST = \frac{Pm_1}{Pm_2} = \frac{\alpha}{\beta} \cdot \frac{q_2}{q_1}\]
Condition d'optimum (isocoût tangent à l'isoquante) :
\[TMST = \frac{p_1}{p_2}\]
! Même structure que le consommateur : TMS/TMST = prix relatifs !
Méthode — Trouver l'optimum du producteur
1
Sentier d'expansion : poser TMST = p₁/p₂ → relation q₂ = f(q₁)
2
Condition VPm : p × Pm₁ = p₁ (valeur productivité marginale = prix input)
3
Substituer q₂ = f(q₁) dans la condition VPm → résoudre q₁*
4
Déduire q₂* et output = f(q₁*, q₂*)
Résultat — f = 4q₁^(1/2) q₂^(1/4), p=p₁=p₂=1
TMST = 2q₂/q₁ = 1 → sentier : q₂ = q₁/2
Condition VPm → q₁* = 8, q₂* = 4, output = 16
Condition VPm → q₁* = 8, q₂* = 4, output = 16
Exercices — Dossier 5
Ce qu'il faut savoir — Dossier 6
Nouveauté par rapport aux dossiers précédents
Structure de l'économie avec production
- Un producteur transforme du travail \(L\) en output \(q = f(L)\)
- Un consommateur-salarié choisit son arbitrage loisir/travail
- Le profit du producteur est redistribué au consommateur
- Il peut y avoir un équilibre autarcique (producteur ne produit rien, L=0) ou un équilibre avec production
Optimum du producteur
\[p \cdot f'(L) = w \quad \Leftrightarrow \quad \text{VPm}_L = \text{salaire}\]
Pour \(f(L) = 2\sqrt{L}\) :
\[f'(L) = \frac{1}{\sqrt{L}} \Rightarrow p \cdot \frac{1}{\sqrt{L}} = w \Rightarrow L^* = \frac{p^2}{w^2} \Rightarrow q^* = \frac{2p}{w}\]
Trouver le salaire réel d'équilibre
Poser \(x = p/w\). Équilibrer marché du travail : \(L^d(x) = L^s(x)\)
\[x^2 = 6 - \frac{1}{x} \Rightarrow x^2 + x - 6 = 0 \Rightarrow (x+3)(x-2) = 0 \Rightarrow x = 2\]
\[\frac{w}{p} = \frac{1}{x} = \frac{1}{2} \quad \text{(salaire réel d'équilibre)}\]
Exercices — Dossier 6
Ce qu'il faut savoir — Dossier 7
Optimum de Pareto — Définition
Allocation Pareto-optimale
Une allocation est un optimum de Pareto s'il est impossible d'améliorer la situation d'un agent sans détériorer celle d'un autre.
\[\text{Condition : } TMS^A = TMS^C \quad \text{(au même point de l'économie)}\]
!️ Si TMS^A ≠ TMS^C → des échanges mutuellement avantageux sont encore possibles → PAS Pareto-optimal
Courbe des contrats
Ensemble de tous les optima de Pareto. On l'obtient en résolvant :
\[TMS^A(q_1^A, q_2^A) = TMS^C(q_1^C, q_2^C)\]
Avec \(q_1^C = W_1 - q_1^A\) et \(q_2^C = W_2 - q_2^A\) (conservation des ressources)
Pour A&C : \(q_2^A = \dfrac{108 q_1^A}{7 + 8q_1^A}\)
1er Théorème du bien-être
✓ Tout équilibre de concurrence parfaite est un optimum de Pareto.
Vérification : à l'équilibre A=(5/2, 10), C=(9/2, 2) :
\[TMS^A\!\left(\tfrac{5}{2},10\right) = \frac{10}{3 \times 5/2} = \frac{4}{3} = \frac{p_1^*}{p_2} = TMS^C\!\left(\tfrac{9}{2},2\right) \checkmark\]
Limite de Pareto
Il existe une infinité d'optima de Pareto, dont certains très inégaux (ex. : tous les biens à un seul agent). Pareto-optimal ≠ juste.
Exercices — Dossier 7